已知雙曲線C的方程為-=1(a>0,b>0),離心率e=,頂點(diǎn)到漸近線的距離為.

(1)求雙曲線C的方程;
(2)如圖,P是雙曲線C上一點(diǎn),A、B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上,且分別位于第一、二象限.若=λ,λ∈.求△AOB的面積的取值范圍.

(1) -x2=1    (2)

解析解:(1)由題意知,雙曲線C的頂點(diǎn)(0,a)到漸近線ax-by=0的距離為,
∴=,即=.
由得
∴雙曲線C的方程為-x2=1.
(2)由(1)知雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±2x,
設(shè)A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0.
由=λ得P點(diǎn)坐標(biāo)為,
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入-x2=1,化簡得mn=.
設(shè)∠AOB=2θ,∵tan(-θ)2.
∴tanθ=,sin2θ=.
又|OA|=m,|OB|=n,
∴S△AOB=|OA|·|OB|·sin2θ
=2mn
=+1,
記S(λ)=+1,λ∈.
則S′(λ)=.
由S′(λ)=0得λ=1.
又S(1)=2,S=,S(2)=,
∴當(dāng)λ=1時(shí),△AOB的面積取得最小值2,當(dāng)λ=時(shí),
△AOB的面積取得最大值.
∴△AOB面積的取值范圍是.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)A、B分別為橢圓＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且直線x＝4是它的右準(zhǔn)線．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)P為橢圓右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4，0)的任意一點(diǎn)，若直線BP與橢圓相交于兩點(diǎn)B、N，求證：∠NAP為銳角．

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設(shè)拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BC∥x軸,證明:直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

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已知A,B分別是橢圓C1:+=1的左、右頂點(diǎn),P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),Q是雙曲線C2:-=1上異于A,B的任意一點(diǎn),a>b>0.
(1)若P（,）,Q（,1）,求橢圓C1的方程;
(2)記直線AP,BP,AQ,BQ的斜率分別是k1,k2,k3,k4,求證:k1·k2+k3·k4為定值.

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F是拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn),M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過M,F,O三點(diǎn)的圓的圓心為Q,點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.
(1)求拋物線C的方程;
(2)是否存在點(diǎn)M,使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
(3)若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,直線l:y=kx+與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D,E,求當(dāng)≤k≤2時(shí),|AB|2+|DE|2的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí),求k的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知常數(shù)，向量，經(jīng)過定點(diǎn)以為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)以為方向向量的直線相交于，其中，
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若，過的直線交曲線于兩點(diǎn)，求的取值范圍。

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我校某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”來慶祝數(shù)學(xué)學(xué)科節(jié)的成功舉辦.其中、是過拋物線焦點(diǎn)的兩條弦，且其焦點(diǎn)，，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，記，其中為銳角．

（1）求拋物線方程；
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已知橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B且，如圖．

（1）求橢圓的方程；
（2）若，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，試確定的取值范圍．

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