Question

正三棱錐P-ABC中，CM=2PM，CN=2NB，對于以下結(jié)論：
①二面角B-PA-C大小的取值范圍是（

π

3

，π）；
②若MN⊥AM，則PC與平面PAB所成角的大小為

π

2

；
③過點M與異面直線PA和BC都成

π

4

的直線有3條；
④若二面角B-PA-C大小為

2π

3

，則過點N與平面PAC和平面PAB都成

π

6

的直線有3條．       
正確的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：①利用二面角的大小區(qū)判斷．②利用線面角的定義去判斷．③利用異面直線的概念去判斷．④利用二面角的大小進(jìn)行判斷．

解答：解：①設(shè)底面正三角形的邊長為1，過B作BD⊥PA，連結(jié)CD，則∠BDC是二面角B-PA-C大小，因為底面三角形ABC是正三角形，所以∠CAB=

π

3

，所以當(dāng)點P無限靠近點O時，即高無限小時，∠BDC接近

π

3

，所以二面角B-PA-C大小的取值范圍是（

π

3

，π），所以①正確．
②因為CM=2PM，CN=2NB，所以MN∥PB．若MN⊥AM，則PB⊥AM，因為P-ABC是正三棱錐，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PB⊥AC，因為AM∩AC=A，所以PB⊥面PAC，因為P-ABC是正三棱錐，所以必有PC⊥面PAB，所以PC與平面PAB所成角的大小為

π

2

，所以②正確．
③因為因為P-ABC是正三棱錐，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PA⊥BC．所以過點M與異面直線PA和BC都成

π

4

的直線有兩條，所以③錯誤．
④若二面角B-PA-C大小為

2π

3

，則∠BDC=

2π

3

，此時∠EDC=

π

3

，（其中E是BC的中點），∠DBC=

π

6

，所以此時直線BC與平面PAC和平面PAB都成

π

6

，又因為平面PAC和平面PAB的法向量的夾角為

π

3

，此時適當(dāng)調(diào)整過N的直線，可以得到兩條直線使得過點N與平面PAC和平面PAB都成

π

6

，所以滿足過點N與平面PAC和平面PAB都成

π

6

的直線有3條． 所以④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題綜合考查了正三棱錐的性質(zhì)以及利用正三棱錐研究線面角和二面角的大小，綜合性強，難度大．