Question

已知數(shù)列{a_n}滿足8a_n+1=a_n²+m（n，m∈N^*），且a₁=1．
（1）求證：當(dāng)m=12時(shí)，1≤a_n＜a_n+1＜2；
（2）若a_n＜4對(duì)任意的n≥1（n∈N）恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析：（1）求得當(dāng)n=1時(shí)，根據(jù)a₁=1求得a₂，判斷出1=a₁＜a₂＜2．進(jìn)而假設(shè)n=k時(shí)，1≤a_k＜a_k+1＜2成立，求得n=k+1時(shí)，求得a_k+2＜2，由假設(shè)a_k²＜a_k+1²有8（a_k+2-a_k+1）=a_k+1²-a_k²＞0，整理得a_k+2＞a_k+1≥a_k≥1，最后綜合證明原式．
（2）整理8a_n+1=a_n²+m得a_n+1-a_n=

1

8

(an-4)2+

m-16

8

判斷出結(jié)果大于或等于

m-16

8

，進(jìn)而判斷出an≥1+

m-16

8

(n-1)分析當(dāng)當(dāng)m＞16時(shí)，顯然不可能使a_n＜4對(duì)任意n∈N^*成立，當(dāng)m=16時(shí)，a₁＜4，假設(shè)a_k＜4，由8a_k+1=16+a_k²＜16+4²，a_k+1＜4．判斷出m=16時(shí)，對(duì)任意n∈N^*都有a_n＜4成立，進(jìn)而求得m的最大值為16．

解答：證明：（1）①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，又8a₂=12+a₁²，a2=

13

8

，
∴1=a₁＜a₂＜2．
②假設(shè)n=k時(shí)，1≤a_k＜a_k+1＜2成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，有8a_k+2=12+a_k+1²＜12+2²=16，
∴a_k+2＜2成立，
由假設(shè)a_k²＜a_k+1²有8（a_k+2-a_k+1）=a_k+1²-a_k²＞0，
∴a_k+2＞a_k+1≥a_k≥1，
∴1≤a_k+1＜a_k+2＜2．
故由①，②知，對(duì)任意n∈N^*都有1≤a_n＜a_n+1＜2成立．
（2）由于an+1-an=

m

8

+

1

8

(

a

2 n

-8an)=

1

8

(an-4)2+

m-16

8

≥

m-16

8

，an≥a1+(n-1)

m-16

8

=1+

m-16

8

(n-1)，
①當(dāng)m＞16時(shí)，顯然不可能使a_n＜4對(duì)任意n∈N^*成立，
②當(dāng)m≤16時(shí)，a_n＜4對(duì)任意n∈N^*有可能成立，
當(dāng)m=16時(shí)，a₁＜4，
假設(shè)a_k＜4，由8a_k+1=16+a_k²＜16+4²，a_k+1＜4．
所以m=16時(shí)，對(duì)任意n∈N^*都有a_n＜4成立，
所以m≤16時(shí)，a_n＜4，
故m的最大值是16．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推式判斷數(shù)列的單調(diào)性和數(shù)列中的恒成立問(wèn)題．考查了考生的推理和分析的能力．?dāng)?shù)列是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，每年必考要強(qiáng)化復(fù)習(xí)．