Question

設直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），對于下列四個命題：
（1）M中所有直線均經(jīng)過一個定點；（2）存在定點P不在M中的任一條直線上；
（3）對于任意正整數(shù)n（n≥3），存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上；
（4）M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．
其中真命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：先弄清直線系M中直線的特征，直線系M表示圓 x²+（y-2）²=1 的切線的集合，再判斷各個結論的正確性．
解答：解：由 直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），可令  ，
消去θ可得  x²+（y-2）²=1，故 直線系M表示圓 x²+（y-2）²=1 的切線的集合，
故（1）不正確．
因為對任意θ，存在定點（0，2）不在直線系M中的任意一條上，故（2）正確．
由于圓 x²+（y-2）²=1 的外且正n 邊形，所有的邊都在直線系M中，故（3）正確．
M中的直線所能圍成的正三角形的邊長不一等，故它們的面積不一定相等，
如圖中等邊三角形ABC和 ADE面積不相等，
故（4）不正確．
綜上，正確的命題是 （2）、（3），故答案為 （2）、（3）．
點評：本題考查直線系方程的應用，要明確直線系M中直線的性質，依據(jù)直線系M表示圓 x²+（y-2）²=1 的切線的集合，結合圖形，判斷各個命題的正確性．