Question

已知球O在一個(gè)棱長(zhǎng)為2

3

的正四面體內(nèi)，如果球O是該正四面體的最大球，那么球O的表面積等于（　　）

• A、4

  3

  π
• B、

  4 3 π

  3

• C、2π
• D、

  2π

  3

Answer 1

分析：已知球O在一個(gè)棱長(zhǎng)為2

3

的正四面體內(nèi)，如果球O是該正四面體的最大球，那么球O與此正四面體的四個(gè)面相切，即球心到四個(gè)面的距離都是半徑，由等體積法求出球的半徑，再由公式求體積

解答：解：由題意，此時(shí)的球與正四面體相切，
由于棱長(zhǎng)為2

3

的正四面體，故四個(gè)面的面積都是

1

2

×2

3

×2

3

sin∠60°=3

3

又頂點(diǎn)到底面的投影在底面的中心，此點(diǎn)到底面三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是高的

2

3

，又高為2

3?

sin∠60°=3，故底面中心到底面頂點(diǎn)的距離都是2
由此知頂點(diǎn)到底面的距離是

(2 3 )2-22

=2

2

此正四面體的體積是

1

3

×2

2

×3

3

=2

6

又此正四面體的體積是

1

3

×r×3

3

×4，故有r=

2 6

4 3

=

2

2

球O的表面積等于4×π×(

2

2

)2=2π
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的體積和表面積，解答本題關(guān)鍵是理解球O是該正四面體的最大球，從中得出此時(shí)球是正四面體的內(nèi)切球，從而聯(lián)想到用等體積法求出球的半徑，熟練掌握正四面體的體積公式及球的表面積公式是正確解題的知識(shí)保證．