Question

6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b=c，2sinB=$\sqrt{3}$sinA．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）求cos（2B+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理、余弦定理，求出cosB，即可求sinB的值；
（Ⅱ）利用cos（2B+$\frac{π}{3}$）=cos2Bcos$\frac{π}{3}$-sin2Bsin$\frac{π}{3}$，求cos（2B+$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵b=c，2sinB=$\sqrt{3}$sinA，
∴2b=$\sqrt{3}$a，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sinB=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（Ⅱ）sin2B=2sinBcosB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cos2B=-$\frac{1}{3}$，
∴cos（2B+$\frac{π}{3}$）=cos2Bcos$\frac{π}{3}$-sin2Bsin$\frac{π}{3}$=-$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦、余弦定理的運(yùn)用，考查和角余弦公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．