【題目】 已知函數(a為常數).
(Ⅰ)當時,求函數的單調區(qū)間;
(Ⅱ)當時,不等式恒成立,求實數的取值范圍.
【答案】(1)單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為和.(2)
【解析】試題分析:(1)先確定函數定義域,再求導函數,進而求定義區(qū)間上導函數的零點,最后列表分析導函數符號并確定單調區(qū)間:增區(qū)間為,,減區(qū)間為和.(2)不等式恒成立問題,一般轉化為對應函數最值問題: ,再利用導數研究函數單調性,確定當時有最大值為,即得實數的取值范圍.
試題解析:解:(Ⅰ)函數的定義域為,
當時, ,
,
由得, ,
由得, 或,
∴函數的單調增區(qū)間為,
單調減區(qū)間為和.
(Ⅱ)當時, 恒成立,
令,
問題轉換為時, .
,
①當時, ,
在上單調遞增,
此時無最大值,故不合題意.
②當時,令解得, ,
此時在上單調遞增,
此時無最大值,故不合題意.
③當時,令解得, ,
當時, ,
而在上單調遞增,在上單調遞減,
,
令, ,
則,
在上單調遞增,
又,
當時, ,
在上小于或等于不恒成立,即不恒成立,
故不合題意.
當時, ,
而此時在上單調遞減,
,符合題意.
綜上可知,實數的取值范圍是.
(也可用洛必達法則)
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【題目】已知四棱錐,底面為菱形, ,H為上的點,過的平面分別交于點,且平面.
(1)證明: ;
(2)當為的中點, ,與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
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【題目】在平面直角坐標系xoy中,曲線C的參數方程是(θ為參數).以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,直線l的極坐標方程為:
(1)求曲線C的極坐標方程;
(2)設直線θ=與直線l交于點M,與曲線C交于P,Q兩點,已知|OM||OP||OQ)=10,求t的值。
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【題目】如圖,四棱錐PABC中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.
(Ⅰ)證明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.
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【題目】已知拋物線與二次曲線有4個不同的交點,由下面的草圖可以看出,下面三個結論是成立的,請給出證明.
(1).兩曲線的4個交點中,至少有兩個交點位于軸的下方;
(2).拋物線必與軸有兩個不同的交點,記為,,;
(3).兩曲線的4個交點中,必存在一點,使.
注.對、、的不同取值會有無數個圖形,此處僅就,各給出一個示意圖,同時也就限制“由圖看出”的解答.
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【題目】如圖,直三棱柱ABCA1B1C1中(側棱與底面垂直的棱柱),AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D 是A1B1的中點.
(1)求證:C1D⊥平面AA1B1B;
(2)當點F 在BB1上的什么位置時,AB1⊥平面C1DF ?并證明你的結論.
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【題目】從1到9的九個數字中取三個偶數四個奇數,試問:
①能組成多少個沒有重復數字的七位數?
②上述七位數中三個偶數排在一起的有幾個?
③在①中的七位數中,偶數排在一起、奇數也排在一起的有幾個?
④在①中任意兩偶數都不相鄰的七位數有幾個?
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