設(shè)n為≥2的自然數(shù)．證明方程xn＋1＝y(tǒng)n＋1在x與n＋1互質(zhì)時(shí)無(wú)正整數(shù)解．
證明：xn＝y(tǒng)n＋1－1＝(y－1)(yn＋yn－1＋…＋1)．如果質(zhì)數(shù)p是y－1與yn＋yn－1＋…＋1的公因數(shù)，則p整除xn，從而p是x的因數(shù)．但y除以p余1，所以yn＋yn－1＋…＋1除以p與n＋1除以p的余數(shù)相同，即n＋1也被p整除，這與x、n＋1互質(zhì)矛盾．因此y－1與yn＋yn－1＋…＋1互質(zhì)，從而y－1＝sn，yn＋yn－1＋…＋1＝tn，其中s、t為自然數(shù)，st＝x．但yn＜yn＋yn－1＋…＋1＜(y＋1)n，所以yn＋yn－1＋…＋1≠tn，矛盾，原方程無(wú)解．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)n為大于1的自然數(shù)，求證：
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n
＞
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)n為自然數(shù)，a、b為正實(shí)數(shù)，且滿足a+b=2，則
1
1+an
+
1
1+bn
的最小值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)點(diǎn)列{An}，{Bn}，{Cn}，其中An（n，an），Bn（n，bn），Cn（n-1，0），滿足向量
AnAn+1
與向量
BnCn
平行，并且點(diǎn)列{Bn}在斜率為6的同一直線上，n=1，2，3，…．
（1）證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（2）試用a1，b1與n表示an（n≥2）；
（3）設(shè)a1=a，b1=-a，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得在a6與a7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是數(shù)列{an}的最小項(xiàng)？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）若a1=b1=3，對(duì)于區(qū)間[0，1]上的任意λ，總存在不小于2的自然數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)，an≥（1-λ）（9n-6）恒成立，求k的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)m＞3，對(duì)于有窮數(shù)列{an}（n=1，2，3…，m），令bk為a1，a2…ak中的最大值，稱數(shù)列{bn}為{an}的“創(chuàng)新數(shù)列”．?dāng)?shù){bn}中不相等項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為{an}的“創(chuàng)新階數(shù)”．例如數(shù)列2，1，3，7，5的創(chuàng)新數(shù)列為2，2，3，7，7，創(chuàng)新階數(shù)為3．
考察自然數(shù)1，2…m（m＞3）的所有排列，將每種排列都視為一個(gè)有窮數(shù)列{cn}．
（Ⅰ）若m=5，寫(xiě)出創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，5，5的所有數(shù)列{cn}；
（Ⅱ） 是否存在數(shù)列{cn}，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有的數(shù)列{cn}，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）在創(chuàng)新階數(shù)為2的所有數(shù)列{cn}中，求它們的首項(xiàng)的和．

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