Question

（2012•南充三模）如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，AD=b，AA₁=c，其外接球球心為點(diǎn)O，外接球體積為

32

3

π，A、C兩點(diǎn)的球面距離為

4

3

π，則

1

a2

+

4

b2

的最小值為

3

4

．

Answer 1

分析：利用長方體三邊長求出球半徑求出球的半徑，通過球面距離求出球心角，通過基本不等式，求出表達(dá)式的最小值．

解答：解：∵外接球體積為

32π

3

，∴R=2，
球的直徑即為長方體的對角線長，
即2R=

a 2+b 2+c 2

=4，
A、B兩點(diǎn)在該球面上的球面距離為

4

3

π，
在等腰三角形OAC中，OA=OC=R=2
球心角∠AOC=

2π

3

，AC=2

3

，
∴a²+b²=12，

1

a2

+

4

b2

=

1

12

×(

1

a2

+

4

b2

)× (a2+b2)
=

1

12

(5+

b2

a2

+

4a2

b2

)
≥

1

12

(5+2

b2 a2 • 4a2 b2

)
=

9

12

=

3

4

．當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時取等號．
故答案為：

3

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查球的性質(zhì)、球內(nèi)接多面體、球面距離及基本不等式，是中檔題．