Question

把所有正整數(shù)按上小下大，左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表，其中第行共有個正整數(shù).設(shè)（i、j∈N*）表示位于這個數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右數(shù)第j個數(shù).

（Ⅰ）若＝2010，求i和j的值；

（Ⅱ）記N*)，試比較與的大小，并說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）i＝11,

（Ⅱ）當(dāng)，2，3時,   當(dāng)時，

解析:

（Ⅰ）因為數(shù)表中前i－1行共有個數(shù)，則第i行的第一個數(shù)是，所以                                  （2分）

因為，＝2010，則i－1＝10，即i＝11．              （4分）

令，則.            （5分）

（Ⅱ）因為，則N*).           （6分）

所以.

所以.       （7分）

檢驗知，當(dāng)，2，3時，，即.       （8分）

猜想：當(dāng)時，.                （9分）

證法一：當(dāng)時,

                     . （12分）

綜上分析，當(dāng)時，；當(dāng)時，.    （13分）

證法二：① 當(dāng)時，，所以成立.  （10分）

② 假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即.

則.

因為，

所以，即當(dāng)時，猜想也正確.

由①、②得當(dāng)時, 成立.

綜上分析，當(dāng)時，；當(dāng)時，.        （13分）