已知函數(shù)f(x)=2x 2+
1
2
,g(x)=lnx+b

(1)當b=0時,求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的最值.
(2)若b是正整數(shù),且g(x)≤ax≤f(x)對任意x∈(0,+∞)恒成立,試求b的值及a的取值范圍.
考點:利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:綜合題,導數(shù)的綜合應用
分析:(1)b=0時求出h(x),h′(x),根據(jù)單調性可求得函數(shù)的最小值;
(2)由題意知g(x)≤f(x)恒成立,構造函數(shù)轉化為求函數(shù)最值,由(1)易求b值,對g(x)≤ax≤f(x)恒成立可分離出參數(shù)a后轉化為函數(shù)最值解決,利用基本不等式及導數(shù)可得兩函數(shù)最值;
解答: 解:(1)當b=0時,h(x)=2x2+
1
2
-
lnx,
h′(x)=4x-
1
x
=
(2x+1)(2x-1)
x
(x>0),
令h′(x)=0,得x=
1
2
,或x=-
1
2
(舍去),
當0<x<
1
2
時,h′(x)<0,此時函數(shù)h(x)在(0,
1
2
)上單調遞減;
當x>
1
2
時,h′(x)>0,此時函數(shù)h(x)在(
1
2
,+∞)上單調遞增;
∴當x=
1
2
時,h(x)有極小值h(
1
2
)=1+ln2,
∴h(x)的最小值為1+ln2;
(2)∵g(x)≤ax≤f(x)對任意x∈(0,+∞)恒成立,
∴g(x)≤f(x)對任意x∈(0,+∞),即b≤2x2+
1
2
-
lnx,
由(1)知,h(x)=2x2+
1
2
-
lnx,當x=
1
2
時有極小值,也是最小值,
∴b≤1+ln2,
∵b是正整數(shù),且1+ln2∈(1,2),∴b=1,
又g(x)≤ax≤f(x),即
lnx+1
x
≤a≤2x+
1
2x

∵2x+
1
2x
≥2,∴a≤2,
設φ(x)=
lnx+1
x
,則φ′(x)=-
lnx
x2
,令φ′(x)=0,得x=1,
當0<x<1時,φ′(x)>0,當x>1時,φ′(x)<0,
則當x=1時,φ(x)有極大值,也是最大值為1,
∴a≥1,∴1≤a≤2,
綜上所述,b=1,1≤a≤2.
點評:本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值及恒成立問題,考查轉化思想,考查學生分析問題解決問題的能力.
練習冊系列答案
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π
4
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π
4
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π
4
)一定是奇函數(shù)
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4
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π
4
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-
1
5
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