10.為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質量,采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件,測量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量(單位:毫克),如表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù):
編號12345
x169178166175180
y7580777081
(1)已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件,求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量;
(2)當產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x≥175,且y≥75時,該產(chǎn)品為優(yōu)等品.用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量;
(3)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中,隨機抽取2件,求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及方差.

分析 (1)利用分層抽樣的性質能求出乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù).
(2)樣品中優(yōu)等品的頻率為$\frac{2}{5}$,由此能求出乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量.
(3)由題意知ξ的可能取值為0,1,2,分別求出相應的概率,由此能求出抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及方差.

解答 解:(1)乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為:
5÷$\frac{14}{98}$=35.
(2)樣品中優(yōu)等品的頻率為$\frac{2}{5}$,
乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為35×$\frac{2}{5}$=14.
(3)由題意知ξ的可能取值為0,1,2,
P(ξ=0)=$\frac{{C}_{2}^{0}{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$,
P(ξ=1)=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$,
P(ξ=2)=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$,
∴ξ的分布列為:

ξ012
P$\frac{3}{10}$$\frac{3}{5}$$\frac{1}{10}$
Eξ=1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{10}$=$\frac{4}{5}$.
Dξ=(0-$\frac{4}{5}$)2×$\frac{3}{10}$+(1-$\frac{4}{5}$)2×$\frac{3}{5}$+(2-$\frac{4}{5}$)2×$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{25}$.

點評 本題考查分層抽樣的應用,考查離散型隨機變量的分布列和方差的求法,考查推理論證能力、運算求解能力、考查整體思想、轉化化歸思想,是中檔題.

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