Question

2．如右圖拋物線頂點在原點，圓（x-2）²+y²=2²的圓心恰是拋物線的焦點，
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）一直線的斜率等于2，且過拋物線焦點，它依次截拋物線和圓于A、B、C、D四點，求|AB|+|CD|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設拋物線方程為y²=2px（p＞0），由已知得p=4．即可得拋物線的方程．
（Ⅱ）依題意直線AB的方程為y=2x-4
設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，得x²-6x+4=0，
|AD|=x₁+x₂+p=6+4=10．可得|AB|+|CD|=|AD|-|CB|=10-4=6．

解答 解：（Ⅰ）設拋物線方程為y²=2px（p＞0），
∵圓（x-2）²+y²=2²的圓心恰是拋物線的焦點，∴p=4．
∴拋物線的方程為：y²=8x；
（Ⅱ）依題意直線AB的方程為y=2x-4
設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，得x²-6x+4=0，
∴x₁+x₂=6，|AD|=x₁+x₂+p=6+4=10．
|AB|+|CD|=|AD|-|CB|=10-4=6．

點評 本題考查了拋物線的方程、性質，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．