Question

64個正數(shù)排成8行8列，如圖所示：在符號a_ij（1≤i≤8，1≤j≤8）中，i表示該數(shù)所在的行數(shù)，j表示該數(shù)所在的列數(shù)．已知每一行中的數(shù)依次都成等差數(shù)列，而每一列中的數(shù)依次都成等比數(shù)列（每列公比q都相等）且a₁₁=

1

2

，a₂₄=1，a₃₂=

1

4

．
（1）求a₁₂和a₁₃的值；
（2）記第n行各項之和為A_n（1≤n≤8），數(shù)列{a_n}，{b_n}，{c_n}滿足a_n=

36

An

，mb_n+1=2（a_n+mb_n）（m為非零常數(shù)），cn=

bn

an

，且

c

2 1

+

c

2 7

=100，求c₁+c₂+…c₇的取值范圍．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式可得A_n，a_n．mb_n+1=2（a_n+mb_n）（m為非零常數(shù)），變形為

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=

1

m

，利用等差數(shù)列的通項公式公式可得c_n，利用等差數(shù)列的前n項和公式可得c₁+c₂+…+c₇=

7(c1+c7)

2

，利用(c1+c7)2=

c

2 1

+

c

2 7

+2c₁c₇≤2(

c

2 1

+

c

2 7

)=200，即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)第一行公差為d，
∵a₁₁=

1

2

，a₂₄=1，a₃₂=

1

4

．
∴

a32=a12q2=( 1 2 +d)q2= 1 4 a24=a14q=( 1 2 +3d)q=1

，
解出d=

1

2

=q，
∴a₁₂=1，a₁₃=

3

2

．
（2）∵a_n1=a11(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，an8=a18(

1

2

)n-1=4×(

1

2

)n-1=8(

1

2

)n．
∴A_n=

an1+an8

2

×8=36×(

1

2

)n，
∴an=2n（1≤n≤8，n∈N^*），
∵mb_n+1=2（a_n+mb_n）（m為非零常數(shù)），
∴

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=

1

m

，
而cn=

bn

an

，
∴c_n+1-c_n=

1

m

，
∴{c_n}是等差數(shù)列，
故c₁+c₂+…+c₇=

7(c1+c7)

2

，
∵(c1+c7)2=

c

2 1

+

c

2 7

+2c₁c₇≤2(

c

2 1

+

c

2 7

)=200，
∴-10

2

≤c1+c7≤10

2

，
∴c₁+c₂+…+c₇∈[-35

2

，35

2

]．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了變形轉(zhuǎn)化能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．