Question

已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列{a_n}同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①；②a_n+1=f'（a_n+1）．
（Ⅰ）試用a_n表示a_n+1；
（Ⅱ）記，若數(shù)列{b_n}是遞減數(shù)列，求a₁的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，
∵a_n+1=f'（a_n+1），∴．
（Ⅱ），，
令a₄＜a₂，得，∴（2a₂+1）（a₂-2）＞0，
∵a₂＞0，∴a₂＞2，則，得0＜a₁＜2．
以下證明：當(dāng)0＜a₁＜2時(shí)，a_2n+2＜a_2n，且a_2n＞2．
①當(dāng)n=1時(shí)，0＜a₁＜2，則，
=，∴a₄＜a₂．
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)命題成立，即a_2k+2＜a_2k，且a_2k＞2，
當(dāng)n=k+1時(shí)，，
∴a_2k+4＜a_2k+2，即n=k+1時(shí)命題成立，
綜合①②，對(duì)于任意n∈N^*，a_2n+2＜a_2n，且a_2n＞2，從而數(shù)列{b_n}是遞減數(shù)列．
∴a₁的取值范圍為（0，2）．
說明：數(shù)學(xué)歸納法第②步也可用下面方法證明：
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用a_n+1=f'（a_n+1），可用a_n表示a_n+1；
（Ⅱ）先通過特殊性，猜想0＜a₁＜2，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查求參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是先猜后證，屬于中檔題．