Question

已知，f（x）=xlnx，g（x）=ax²+bx-1，函數(shù)y=g（x）的導(dǎo)數(shù)g′（x）的圖象如圖所示．
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）d≥f（x）-g（x）對(duì)一切x＞0恒成立，求實(shí)數(shù)d的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），求函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）g'（x）=2ax+b，利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解a，b，即可求得g（x）的解析式；
（Ⅱ）f（x）-g（x）=xlnx-x²+x+1，由于x＞0，可以通過(guò)研究T（x）=lnx-x+1＞0恒成立解決．
（Ⅲ）h（x）=xlnx-x²+x+1，h'（x）=lnx-2x+2（x＞0），通過(guò)研究其單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理解決．

解答：解（Ⅰ）∵g（x）=ax²+bx-1，∴g'（x）=2ax+b
由圖可知b=-1，∴g'（x）=2ax-1，
將x=

1

2

，y=0代入計(jì)算得a=1，
∴g（x）=x²-x-1．…3分
（Ⅱ）設(shè)T（x）=lnx-x+1（x＞0）．
∴T′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，T'（x）＞0，T（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時(shí)，T'（x）＜0，T（x）單調(diào)遞減．
∴T（x）_max=T（x）_極大=T（1）=0，即對(duì)一切x＞0，都有l(wèi)nx-x+1≤0，
∴xlnx-x²+x≤0，即xlnx-x²+x+1≤1．
由（Ⅰ）得f（x）-g（x）=xlnx-x²+x+1，所以對(duì)一切x＞0都有f（x）-g（x）≤1．
所以實(shí)數(shù)求d的取值范圍是[1，+∞）．…8分
（Ⅲ）h（x）=xlnx-x²+x+1，h'（x）=lnx-2x+2（x＞0）．
設(shè)t（x）=lnx-2x+2（x＞0），則t′(x)=-

2(x- 1 2 )

2x2

，所以當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)，t'（x）＞0，h'（x）=t（x）是增函數(shù)，當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，t'（x）＜0，h'（x）=t（x）是減函數(shù)，所以h′(x)max=h′(

1

2

)=1-ln2＞0．
又h'（e^-2）=-2e^-2＜0，所以在區(qū)間(e-2，

1

2

)上存在唯一的實(shí)數(shù)x₀，使得h'（x₀）=t'（1）=0（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），
所以當(dāng)x變化時(shí)，h'（x）、h（x）的變化情況如下表：

x	（0，x0）	x0	（x0，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	-	0	+	0	-
h（x）	↘	極小值	↗	極大值1	↘

∴h(x)極小=h(x0)=x0lnx0-

x

2 0

+x0+1，且h'（x₀）=lnx₀-2x₀+2=0，∴h(x)極小=h(x0)=x0(2x0-2)-

x

2 0

+x0+1=

x

2 0

-x0+1=(x0-

1

2

)2+

3

4

＞0．
∵h(yuǎn)（x）在區(qū)間（1，+∞）遞減，h（e）=2e-e²+1＜0，∴在區(qū)間（1，e）上存在唯一一點(diǎn)x，使得h（x）=0．
綜上所述，函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1．…14分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，函數(shù)的單調(diào)性，查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想，綜合性強(qiáng)