Question

14．在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）求證：平面EAC⊥平面PAB．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于F，連接EF，利用三角形的中位線定理證明EF∥PB，再證明PB∥平面AEC；
（2）利用線面垂直的定義得出PA⊥AC，再證明AC⊥平面PAB與平面EAC⊥平面PAB．

解答 證明：（1）如圖所示，

連接BD交AC于F，連接EF，
在△DPB中，EF為中位線，
∴EF∥PB；
又PB?平面EAC，EF?平面EAC，
∴PB∥平面AEC；
（2）∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC；
又AB⊥AC，PA∩AB=A，
∴AC⊥平面PAB；
又AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PAB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了邏輯推理與證明能力，是中檔題目．