函數(shù)f（x）定義在N上，且對x∈N*，都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），若f（1）=2009，f（3）=0，則f（x）值有（ ）個．
A．2
B．3
C．6
D．不確定
【答案】分析：先由f（x）=f（x-1）+f（x+1），（1）得出f（x+1）=f（x）+f（x+2），即f（x）=f（x-1）+f（x）+f（x+2），故f（x-1）=-f（x+2），即f（x）=-f（x+3），（2）即f（x）=f（x+6），（3）得出周期為6；再分別計算出：f（1）=2009，f（3）=0，f（2）=2009，f（4）=-f（1）=-2009，f（5）=-f（3）=-2009．得出f（x）的數(shù)值規(guī)律是即可．
解答：解：因?yàn)閒（x）=f（x-1）+f（x+1），（1）
所以f（x+1）=f（x）+f（x+2），
即f（x）=f（x-1）+f（x）+f（x+2），
故f（x-1）=-f（x+2），
即f（x）=-f（x+3），（2）
即f（x）=f（x+6），（3）
所以周期為6；
又因?yàn)閒（1）=2009，f（3）=0
代入公式（1），得出f（2）=2009
代入公式（2），得出f（4）=-f（1）=-2009，f（5）=-f（2）=-2009．
綜上f（x）的數(shù)值規(guī)律是：2009，2009，0，-2009，-2009，0，2009，2009，0，-2009，-2009，0…
則f（x）值有3個．
故選B
點(diǎn)評：此題要求多次迭代同一個公式，并且對公式多角度的應(yīng)用，理解周期函數(shù)的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力．運(yùn)用好遞推公式f（x）=f（x-1）+f（x+1）多次迭代求出周期，利用初始值f（1）=2009，f（3）=0判斷結(jié)果，注意定義域x∈N*，
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且當(dāng)x，y∈（-1，1）時，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
），又?jǐn)?shù)列{an}滿足a1=
1
2
，an+1=
2an
1+
a
2
n
，設(shè)bn=
1
f(a1)
+
1
f(a2)
+…+
1
f(an)
．
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（2）求f（an）的表達(dá)式；
（3）是否存在正整數(shù)m，使得對任意n∈N，都有bn＜
m-8
4
成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

9、函數(shù)f（x）定義在N上，且對x∈N*，都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），若f（1）=2009，f（3）=0，則f（x）值有（　　）個．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f(
1
2
)=-1，對任意x、y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)成立，又?jǐn)?shù)列an滿足a1=
1
2
，an+1=
2an
1+
a
2
n
，設(shè)bn=
1
f(a1)
+
1
f(a2)
+
1
f(a3)
+…+
1
f(an)
．
（1）在（-1，1）內(nèi)求一個實(shí)數(shù)t，使得f(t)=2f(
1
2
)；
（2）證明數(shù)列f（an）是等比數(shù)列，并求f（an）的表達(dá)式和
lim
n→∞
bn的值；
（3）是否存在m∈N*，使得對任意n∈N*，都有bn＜
m-8
4
成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：單選題

函數(shù)f（x）定義在N上，且對x∈N*，都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），若f（1）=2009，f（3）=0，則f（x）值有個．


  1. A.
    2
  2. B.
    3
  3. C.
    6
  4. D.
    不確定

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