Question

（2012•蕪湖二模）已知函數(shù)f(x)=(x2-x-

1

a

)•eax(a＞0)
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若不等式f(x)+

3

a

≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，根據(jù)函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）令f'（x）=0，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，分段討論函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而根據(jù)不等式f(x)+

3

a

≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，-

3

a

不大于函數(shù)的最小值，構(gòu)造關(guān)于a的方程

解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，
f(x)=(x2-x-

1

2

)•e2x
f'（x）=e^2x•（2x²-2）=2e^2x•（x+1）（x-1）
∵x∈（-1，1）時(shí)，f'（x）＜0，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
∴減區(qū)間為（-1，1），增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞）…（5分）
（2）f'（x）=e^ax•（ax+2）（x-1）
令f'（x）=0，則x=-

2

a

或x=1
∵a＞0
列表

x	（-∞，- 2 a ）	- 2 a	（- 2 a ，1）	1	（1，+∞）
f'x	+	0	-	0	+
f（x）		極大值		極小值

∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最小值f(1)=-

1

a

ea＜0
∴依題意-

1

a

ea≥-

3

a

即可
∴e^a≤3⇒a≤ln3
解得0＜a≤ln3…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值，函數(shù)恒成立問(wèn)題，這導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的經(jīng)典題型