Question

如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點C在AB的延長線上，BC＝1，點P為半圓上的一個動點，以DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，判斷四邊形OPDC的面積有無最大值.若有,求出最大值;若沒有,說明理由.

Answer 1

思路分析：要判斷四邊形OPDC的面積有無最大值，這首先需要建立一個面積函數(shù)看這一個函數(shù)有無最大值，本題中建立目標函數(shù)的關鍵是選誰作為自變量，如果注意到動點P在半圓上運動與∠POB大小變化之間的聯(lián)系，自然引入∠POB＝θ作為自變量建立函數(shù)關系.四邊形OPDC可以分成△OPC與等邊△PDC，S_△OPC可用·OP·OC·sinθ表示，而等邊△PDC的面積關鍵在于邊長的求解，而邊長PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面積最值的獲得，則通過三角函數(shù)知識解決.

解：設∠POB＝θ，四邊形面積為y，則在△POC中，由余弦定理,得

PC²＝OP^2?＋OC²－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ,

∴y＝S△_OPC＋S_△PCD＝×1×2sinθ＋(5－4cosθ)

＝2sin(θ－)＋.

∴當θ－＝,即θ＝時，y_max＝2＋.

方法歸納 本題中余弦定理為表示△PCD的面積，從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能，可見正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù)，一般地也是分析幾何量之間關系的重要公式，要認識到這兩個定理的重要性.另外，在求三角函數(shù)最值時，涉及到兩角和正弦公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ的構(gòu)造及逆用，應予以重視.