Question

設a＞0，函數(shù)f（x）=x²+a|lnx-1|
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）當a=3時，求函數(shù)f（x）的單調性；
（3）當x∈[1，+∞）時，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a=1代入，對函數(shù)f（x）進行求導得到切線的斜率k=f′（1），切點為（1，2），根據(jù)點斜式即可寫出切線方程；
（2）由題意知當0＜x≤e時，，f（x）在（1，e]內單調性．當x≥e時，恒成立，故f（x）在[e，+∞）內單調遞增．由此可知f（x）的單調增區(qū)間和單調遞減區(qū)間；
（3）分x≥e和x＜e兩種情況討論．分別對函數(shù)f（x）進行求導，根據(jù)導函數(shù)的正負判斷出函數(shù)f（x）的單調性后可得到答案．
解答：解（1）當a=1時，f（x）=x²+|lnx-1|
令x=1得f（1）=2，f'（1）=1，所以切點為（1，2），切線的斜率為1，
所以曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為：x-y+1=0．
（2）當a=2時，f（x）=x²+3|lnx-1|
=
當0＜x≤e時，，
f（x）在（0，]內單調遞減，在（，e]上單調遞增；
當x≥e時，恒成立，
故f（x）在（0，]內單調遞減，在（，+∞）上單調遞增；
（3）①當x≥e時，f（x）=x²+alnx-a，（x≥e）
∵a＞0，
∴f（x）＞0恒成立．
∴f（x）在[e，+∞）上增函數(shù)．
故當x=e時，y_min=f（e）=e²
②當1≤x＜e時，f（x）=x²-alnx+1，
（1≤x＜e）
（i）當 ，即0＜a≤2時，f'（x）在x∈（1，e）時為正數(shù)，
所以f（x）在區(qū)間[1，e）上為增函數(shù)．
故當x=1時，y_min=1+a，且此時f（1）＜f（e）
（ii）當 ，即2＜a＜2e²時，
f'（x）在 時為負數(shù)，在間 時為正數(shù)
所以f（x）在區(qū)間 上為減函數(shù)，在 上為增函數(shù)
故當 時，，
且此時
（iii）當 ；即a≥2e²時，
f'（x）在x∈（1，e）時為負數(shù)，
所以f（x）在區(qū)間[1，e]上為減函數(shù)，
當x=e時，y_min=f（e）=e²．
綜上所述，當a≥2e²時，f（x）在x≥e時和1≤x≤e時的最小值都是e²．
所以此時f（x）的最小值為f（e）=e²；
當2＜a＜2e²時，f（x）在x≥e時的最小值為 ，
而 ，
所以此時f（x）的最小值為 ．
當0＜a≤2時，在x≥e時最小值為e²，在1≤x＜e時的最小值為f（1）=1+a，
而f（1）＜f（e），所以此時f（x）的最小值為f（1）=1+a
所以函數(shù)y=f（x）的最小值為 ．
點評：本題主要考查函數(shù)導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負之間的關系．當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減，考查運算能力，屬中檔題．