Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使AC=a，得到三棱錐A-BCD，如圖所示． 
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求證：AO⊥平面BCD；
（2）當(dāng)二面角A-BD-C的大小為120°時(shí)，求二面角A-BC-D的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)AC=a=2得到AC²=AO²+CO²，進(jìn)而得AO⊥CO，再結(jié)合AC，BD是正方形ABCD的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的AO⊥BD進(jìn)而證明結(jié)論；
（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合二面角A-BD-C的大小為120°時(shí)對(duì)應(yīng)的結(jié)論，進(jìn)而求出兩個(gè)半平面的法向量，即可求出結(jié)論．
解答：解：（1）證明：根據(jù)題意，在△AOC中，AC=a=2，，
所以AC²=AO²+CO²，所以AO⊥CO．…（2分）
因?yàn)锳C，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，
所以AO⊥BD．…（3分）
因?yàn)锽D∩CO=O，
所以AO⊥平面BCD；．…（4分）
（2）：由（1）知，CO⊥OD，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OD所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，…（5分）
則有O（0，0，0），，，．
設(shè)A（x，0，z）（x＜0），則，．…（6分）
又設(shè)面ABD的法向量為n=（x₁，y₁，z₁），
則即  
所以y₁=0，令x₁=z，則z₁=-x．
所以n=（z，0，-x）．…（8分）
因?yàn)槠矫鍮CD的一個(gè)法向量為m=（0，0，1），
且二面角A-BD-C的大小為120°，…（9分）
所以，得．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185451898239890/SYS201310241854518982398017_DA/10.png">，所以．
解得．所以．…（10分）
設(shè)平面ABC的法向量為l=（x₂，y₂，z₂），因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185451898239890/SYS201310241854518982398017_DA/14.png">，
則，即令x₂=1，則．
所以．…（12分）
設(shè)二面角A-BC-D的平面角為θ，
所以．…（13分）
所以．
所以二面角A-BC-D的正切值為．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察用空間向量求平面間的夾角．解決這類問題的關(guān)鍵在于求出兩個(gè)半平面的法向量．