【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性；

(2)證明：.

【答案】(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)證明見解析.

【解析】

(1)求導(dǎo)后分與兩種情況分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)從而求得原函數(shù)的單調(diào)性即可.

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論,求得最小值從而得出當(dāng)時,,再構(gòu)造函數(shù)式證明.或構(gòu)造,求導(dǎo)后根據(jù)隱零點的方法證明.

(1)依題意,的定義域為,

,

當(dāng)時,；當(dāng)時,.

①當(dāng)時,若,則；若,則.

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

②當(dāng)時,若,則；若,則.

所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

綜上,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

(2)法一：由(1)知,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,

故當(dāng)時,.

又當(dāng)時,,

所以當(dāng)時,,故,

所以.

(2)法二：令,則,

令,則為增函數(shù),且

,,

所以有唯一的零點,,

所以當(dāng)時,,為減函數(shù)；當(dāng)時,為增函數(shù).

所以.

由(1)知,當(dāng)時,在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),故

,即,

所以,

所以,故.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某紡織廠為了生產(chǎn)一種高端布料，準(zhǔn)備從農(nóng)場購進(jìn)一批優(yōu)質(zhì)棉花，廠方技術(shù)人員從農(nóng)場存儲的優(yōu)質(zhì)棉花中隨機(jī)抽取了處棉花，分別測量了其纖維長度（單位：）的均值，收集到個樣本數(shù)據(jù)，并制成如下頻數(shù)分布表：

（1）求這個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；

（2）將收集到的數(shù)據(jù)繪制成直方圖可以認(rèn)為這批棉花的纖維長度服從分布，其中.

①利用正態(tài)分布，求；

②紡織廠將農(nóng)場送來的這批優(yōu)質(zhì)棉進(jìn)行二次檢驗，從中隨機(jī)抽取處測量其纖維均值，數(shù)據(jù)如下：

若個樣本中纖維均值的頻率不低于①中，即可判斷該批優(yōu)質(zhì)棉花合格，否則認(rèn)為農(nóng)場運送是摻雜了次品，判斷該批棉花不合格.按照此依據(jù)判斷農(nóng)場送來的這批棉花是否為合格的優(yōu)質(zhì)棉花，并說明理由.

附：若，則

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【題目】某林場現(xiàn)有木材存量為，每年以25%的增長率逐年遞增，但每年年底要砍伐的木材量為，經(jīng)過年后林場木材存有量為

（1）求的解析式

（2）為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量不應(yīng)少于，如果，那么該地區(qū)會發(fā)生水土流失嗎？若會，要經(jīng)過幾年？（取）

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【題目】如圖，在四棱錐中，平面，， ，，，，為側(cè)棱上一點.

（Ⅰ）若，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）在側(cè)棱上是否存在點，使得平面？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．

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【題目】為了進(jìn)一步推動全市學(xué)習(xí)型黨組織、學(xué)習(xí)型社會建設(shè)，某市組織開展“學(xué)習(xí)強國”知識測試，每人測試文化、經(jīng)濟(jì)兩個項目，每個項目滿分均為60分.從全體測試人員中隨機(jī)抽取了100人，分別統(tǒng)計他們文化、經(jīng)濟(jì)兩個項目的測試成績，得到文化項目測試成績的頻數(shù)分布表和經(jīng)濟(jì)項目測試成績的頻率分布直方圖如下：

經(jīng)濟(jì)項目測試成績頻率分布直方圖

分?jǐn)?shù)區(qū)間

頻數(shù)

2

3

5

15

40

35

文化項目測試成績頻數(shù)分布表

將測試人員的成績劃分為三個等級如下：分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)為一般，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)為良好，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)為優(yōu)秀.

（1）在抽取的100人中，經(jīng)濟(jì)項目等級為優(yōu)秀的測試人員中女生有14人，經(jīng)濟(jì)項目等級為一般或良好的測試人員中女生有34人.填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有以上的把握認(rèn)為“經(jīng)濟(jì)項目等級為優(yōu)秀”與性別有關(guān)？

優(yōu)秀

一般或良好

合計

男生數(shù)

女生數(shù)

合計

（2）用這100人的樣本估計總體，假設(shè)這兩個項目的測試成績相互獨立.

（i）從該市測試人員中隨機(jī)抽取1人，估計其“文化項目等級高于經(jīng)濟(jì)項目等級”的概率.

（ii）對該市文化項目、經(jīng)濟(jì)項目的學(xué)習(xí)成績進(jìn)行評價.

附：

0.150

0.050

0.010

2.072

3.841

6.635

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在長方體中，，點E是棱上的一個動點，若平面交棱于點，給出下列命題：

①四棱錐的體積恒為定值；

②存在點，使得平面；

③對于棱上任意一點，在棱上均有相應(yīng)的點，使得平面；

④存在唯一的點，使得截面四邊形的周長取得最小值.

其中真命題的是____________．（填寫所有正確答案的序號）

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