Question

9．如圖，已知圓E：x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{9}{4}$經(jīng)過(guò)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為A，且F₁，E，A三點(diǎn)共線(xiàn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)與直線(xiàn)OA（O為原點(diǎn)）平行的直線(xiàn)l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)．
使 $\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-\frac{3}{2}$，若存在，求直線(xiàn)l的方程，不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由F₁，E，A三點(diǎn)共線(xiàn)，得F₁A為圓E的直徑，且F₁A=3，從而F₂A⊥F₁F₂，由圓E：x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{9}{4}$經(jīng)過(guò)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為A，求出c=$\sqrt{2}$，2a=|AF₁|+|AF₂|=4，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由A（$\sqrt{2}，1$），知${k}_{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，假設(shè)存在直線(xiàn)l：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}x+m$滿(mǎn)足條件，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得${x}^{2}+\sqrt{2}mx+{m}^{2}-2=0$，利用韋達(dá)定理、根的判別式、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出存在直線(xiàn)l：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}x±1$滿(mǎn)足條件．

解答 解：（1）∵F₁，E，A三點(diǎn)共線(xiàn)，∴F₁A為圓E的直徑，且F₁A=3，
∴F₂A⊥F₁F₂，
∵${x}^{2}+（0-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{9}{4}$，得x=$±\sqrt{2}$，∴c=$\sqrt{2}$，
∵|AF₂|²=|AF₁|²-|F₁F₂|²=9-8=1，∴F₂A=1，
∴2a=|AF₁|+|AF₂|=4，a=2，
∵a²=b²+c²，∴b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）∵A（$\sqrt{2}，1$），∴${k}_{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
假設(shè)存在直線(xiàn)l：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}x+m$滿(mǎn)足條件，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得${x}^{2}+\sqrt{2}mx+{m}^{2}-2=0$，
設(shè)直線(xiàn)l交橢圓C于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\sqrt{2}m$，${x}_{1}{x}_{2}={m}^{2}-2$，
且△=2m²-4（m²-2）＞0，即-2＜m＜2，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=x₁x₂+（$\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{1}+m$）（$\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{2}+m$）
=$\frac{3}{2}{x}_{1}{x}_{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$
=$\frac{3}{2}（{m}^{2}-2）+\frac{\sqrt{2}}{2}m（-\sqrt{2}m）+{m}^{2}$=$\frac{3}{2}（{m}^{2}-2）$，
∵$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-\frac{3}{2}$，∴$\frac{3}{2}（{m}^{2}-2）=-\frac{3}{2}$，解得m=±1．
∴存在直線(xiàn)l：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}x±1$滿(mǎn)足條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程求法，考查滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)方程是否存在的判斷與求法，考查橢圓、韋達(dá)定理、根的判別式、直線(xiàn)方程、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．