在△ABC中,已知AB=2,BC=1,,分別在邊AB、BC、CA上取點D、E、F,使得△DEF為正三角形.設∠FEC=a,問sinα取何值時,△DEF的邊長最短,并求此最短邊長.
如圖所示,∵ AB=2,BC=1,,∴ ,∴∠ C=90°,∠A=30°,∠B=60°,∵∠ FEC=α,∴∠ EFC=90°-α,又∵△ DEF等邊三角形,∠DFE=60°,∴∠ AFD=180°-60°-(90°-α)=30°+α.∵∠ A=30°,∴∠ ADF=180°-30°-(30°+α)=120°-α.設 CF=x,則.在△ADF中,有∠ A=30°,∠ADF=120°-α,,則由正弦定理,得 .在 Rt△ECF中,x=DF·sinα,∴ ,化簡得, ,當 ,即,即 時,最小邊長為. |
此題在題目中已比較明確地指明了解題思路,即應尋求△DEF最小邊長的函數(shù),并且自變量為α,再求以α為自變量的函數(shù)的最小值,這是求最值中的常用方法. |
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