Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^x，其中e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）設(shè)函數(shù)g（x）=（x²+ax-2a-3）f（x），a∈R．試討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-mx²-x，m∈R，若對(duì)任意${x_1}，{x_2}∈[{\frac{1}{2}，2}]$，且x₁＞x₂都有x₂h（x₁）-x₁h（x₂）＞x₁x₂（x₂-x₁）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)g（x）的解析式，求導(dǎo)，根據(jù)a的取值，分別解關(guān)于x的不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可；
（2）根據(jù)已知條件將其轉(zhuǎn)化成，$\frac{h（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$+x₁＞$\frac{h（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$+x₂，且x₁＞x₂，構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-（m-1）x-1，求導(dǎo)，分離變量求得m≤$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$+1，在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，即可求得m的取值范圍．

解答 解：（1）g（x）=e^x（x²+ax-2a-3），a∈R．
∴g′（x）=e^x[x²+（a+2）x-a-3]，
=e^x（x-1）（x+a+3），
當(dāng)a=-4時(shí)，g′（x）=e^x（x-1）²≥0，
∴g（x）在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞-4時(shí)，由g′（x）＞0，解得x＜-a-3或x＞1，
∴g（x）在（-∞，-a-3），（1，+∞）上單調(diào)遞增，
由g′（x）＜0，解得-a-3＜x＜1，
∴g（x）在（-a-3，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＜-4時(shí)，由g′（x）＞0，解得x＜1或x＞-a-3，
∴g（x）在（-∞，1），（-a-3，+∞）上單調(diào)遞增，
由g′（x）＜0，解得1＜x＜-a-3，
∴g（x）在（1，-a-3）上單調(diào)遞減，
綜上所述：當(dāng)a=-4時(shí)，g（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞-4時(shí)，g（x）在（-∞，-a-3），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-a-3，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＜-4時(shí)，g（x）在（-∞，1），（-a-3，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，-a-3）上單調(diào)遞減．
（2）h（x）=f（x）-mx²-x=e^x-mx²-x，${x_1}，{x_2}∈[{\frac{1}{2}，2}]$，
∴x₂h（x₁）-x₁h（x₂）＞x₁x₂（x₂-x₁），
∴$\frac{h（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$-$\frac{h（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$＞x₂-x₁，
不等式$\frac{h（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$-$\frac{h（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$＞x₂-x₁，等價(jià)于$\frac{h（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$+x₁＞$\frac{h（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$+x₂，且x₁＞x₂，
記F（x）=$\frac{h（x）}{x}+x$=$\frac{{e}^{x}}{x}$-（m-1）x-1，
∴F（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞增，
F′（x）=$\frac{{e}^{2}（x-1）}{{x}^{2}}$-（m-1）≥0在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
m≤$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$+1，在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
記P（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$+1，
∴P′（x）=$\frac{x{e}^{x}[（x-1）^{2}+1]}{{x}^{4}}$＞0，
∴P（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞增，P（x）_min=P（$\frac{1}{2}$）=1-2$\sqrt{e}$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，1-2$\sqrt{e}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值問題，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題及取值范圍，重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于難題．