Question

（2012•溫州一模）已知函數(shù)f（x）=（2x+a）•e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的極小值；
（2）對(duì)區(qū)間[-1，1]內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，都有-2≤f（x）≤e²成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)f（x）的極小值；
（2）分類(lèi)討論，求出函數(shù)在區(qū)間[-1，1]內(nèi)的最大值與最小值，根據(jù)-2≤f（x）≤e²成立，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=（2x+a+2）•e^x，
當(dāng)x＜-

a

2

-1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞-

a

2

-1時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)在(-∞，-

a

2

-1)上為減函數(shù)，在(-

a

2

-1，+∞)上為增函數(shù)，
∴x=-

a

2

-1時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為f(-

a

2

-1)=-2e

a

2

-1；
（2）由（1）知-

a

2

-1≤-1，即a≥0時(shí)，f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)
∴f（x）_max=f（1），f（x）_min=f（-1）
∵對(duì)區(qū)間[-1，1]內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，都有-2≤f（x）≤e²成立，
∴

f(-1)≥-2 f(1)≤e2

∴

(a-2)e-1≥-2 (a+2)e≤e2

∴0≤a≤e-2
-

a

2

-1≥1，即a≤-4時(shí)，f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)
∴f（x）_max=f（-1），f（x）_min=f（1）
∵對(duì)區(qū)間[-1，1]內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，都有-2≤f（x）≤e²成立，
∴

f(1)≥-2 f(-1)≤e2

∴

(a+2)e≥-2 (a-2)e-1≤e2

，無(wú)解；
-1＜-

a

2

-1＜1，即-4＜a＜0時(shí)，f（x）在[-1，-

a

2

-1）上為減函數(shù)，在[-

a

2

-1，1）上為增函數(shù)
∴f（x）_max={f（-1），f（1）}，f（x）_min=f(-

a

2

-1)
∴

(a+2)e≤e2 (a-2)e-1≤e2 -2e a 2 -1≥-2

∴-2≤a＜0
綜上，a的取值范圍為-2≤a≤e-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．