已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)A(2,1),離心率為.過點(diǎn)B(3,0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)直線AM和直線AN的斜率分別為kAM和kAN,求證:kAM+kAN為定值.
【答案】分析:(Ⅰ)根據(jù)離心率和(2,1)點(diǎn)代入橢圓方程可求得a和c,進(jìn)而求得b,方程可得.
(Ⅱ)由題意顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l方程為y=k(x-3),聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去y得(1+2k2)x2-12k2x+18k2-6=0.因?yàn)橹本l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,所以△>0,可得-1<k<1.再用坐標(biāo)表示出即可求的取值范圍.
(Ⅲ)由(Ⅱ)用坐標(biāo)表示出kAM+kAN化簡(jiǎn)即可.
解答:解:(Ⅰ)由題意得,解得.故橢圓C的方程為
(Ⅱ)由題意顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l方程為y=k(x-3),
得(1+2k2)x2-12k2x+18k2-6=0.
因?yàn)橹本l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,所以△=144k4-4(1+2k2)(18k2-6)=24(1-k2)>0,解得-1<k<1.
設(shè)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則,,
y1=k(x1-3),y2=k(x2-3).
所以
=(1+k2)[x1x2-3(x1+x2)+9]==
因?yàn)?1<k<1,所以
的取值范圍為(2,3].
(Ⅲ)由(Ⅱ)得kAM+kAN=
==
==
所以kAM+kAN為定值-2.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓方程的求解,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,利用直線與橢圓方程聯(lián)立,借助于根與系數(shù)的關(guān)系,從而使問題得解.
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(Ⅰ)求橢圓的方程;
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(Ⅱ)過點(diǎn)(3,0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,設(shè)直線AM和直線AN的斜率分別為kAM和kAN,求證:kAM+kAN為定值.

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