Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+x²
（1）若當(dāng)x=-1時，f（x）取得極值，求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）存在極值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)定義域，然后對函數(shù)求導(dǎo)，由題意可得，f′（-1）=0，代入可求a，代入a的值，分別解f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解即可．
（2）由題意可得在區(qū)間（-a，+∞）上，f′（x）=0有根，結(jié)合一元二次方程根的存在情況討論該方程的△=4a²-8，求a的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=

1

x+a

+2x，
依題意有f'（-1）=0，故a=

3

2

．（2分）
從而f′(x)=

2x2+3x+1

x+ 3 2

=

(2x+1)(x+1)

x+ 3 2

．（3分）
f（x）的定義域為(-

3

2

，+∞)，當(dāng)-

3

2

＜x＜-1時，f'（x）＞0；
當(dāng)m∈[-26，6]時，f'（x）＜0；當(dāng)x＞-

1

2

時，f'（x）＞0．
∴f（x）分別在區(qū)間(-

3

2

，-1)，(-

1

2

，+∞)單調(diào)遞增，在區(qū)間(-1，-

1

2

)單調(diào)遞減．（6分）
（2）f（x）的定義域為（-a，+∞），f′(x)=

2x2+2ax+1

x+a

．（7分）
方程2x²+2ax+1=0的判別式△=4a²-8．
（�。┤簟鳎�0，即-

2

＜a＜

2

，在f（x）的定義域內(nèi)f'（x）＞0，故f（x）無極值．（8分）
（ⅱ）若△=0，則a=

2

或a=-

2

．
若a=

2

，x∈(-

2

，+∞)，f′(x)=

( 2 x-1)2

x+ 2

．
當(dāng)x=-

2

2

時，f'（x）=0，當(dāng)x∈(-

2

，-

2

2

)∪(-

2

2

，+∞)時，f'（x）＞0，
所以f（x）無極值．（10分）
若a=-

2

，x∈(

2

，+∞)，f′(x)=

( 2 x-1)2

x- 2

＞0，f（x）也無極值．（11分）
（ⅲ）若△＞0，即a＞

2

或a＜-

2

，則2x²+2ax+1=0有兩個不同的實根x1=

-a- a2-2

2

，x2=

-a+ a2-2

2

．
當(dāng)a＜-

2

時，x₁＜-a，x₂＜-a，從而f'（x）在f（x）的定義域內(nèi)沒有零點，
故f（x）無極值．（12分）
當(dāng)a＞

2

時，x₁＞-a，x₂＞-a，f'（x）在f（x）的定義域內(nèi)有兩個不同的零點，
由根值判別方法知f（x）在x=x₁，x=x₂取得極值．（13分）
綜上，f（x）存在極值時，a的取值范圍為(

2

，+∞)．（14分）

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及單調(diào)性，解題時若含有參數(shù)，要對參數(shù)的取值進行討論，而分類討論的思想也是高考的一個重要思想，要注意體會其在解題中的運用．