Question

（2012•三明模擬）已知函數f(x)=sin(x+

π

3

)-

3

cos2

x

2

．
（Ⅰ）將函數f（x）的圖象向上平移

3

2

個單位后得到函數g（x）的圖象，求g（x）的最大值；
（Ⅱ）設D={(x，y)|

x≤3 y≤3 x+y≥5

}，若P∈D，問：是否存在直線OP（O為坐標原點），使得該直線與曲線y=f（x）相切？若存在，求出直線OP的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據和角公式及二倍角公式對已知函數化簡可得f（x）=

1

2

sinx-

3

2

，進而可求g（x），根據正弦函數的性質即可求解
（Ⅱ）作出

x≤3 y≤3 x+y≥5

的區(qū)域D，結合圖形可知直線OP的斜率的取值范圍是kOP∈[

2

3

，

3

2

]，利用導數的幾何意義可求f′(x)=∈[-

1

2

，

1

2

]，即可判斷

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=sin(x+

π

3

)-

3

cos2

x

2

=

1

2

sinx+

3

2

cosx-

3

•

1+cosx

2

=

1

2

sinx-

3

2

（3分）
所以g(x)=f(x)+

3

2

=

1

2

sinx，
從而(g(x))max=

1

2

，此時x=2kπ+

π

2

(k∈z)．（6分）
（Ⅱ）由

x≤3 y≤3 x+y≥5

知，區(qū)域D如右圖所示．
于是直線OP的斜率的取值范圍是kOP∈[

2

3

，

3

2

]，（9分）
又由f(x)=

1

2

sinx-

3

2

知，f′(x)=

1

2

cosx，于是f′(x)=∈[-

1

2

，

1

2

]，
因為

1

2

＜

2

3

，所以直線OP不可能與函數y=f（x）的圖象相切（12分）

點評：本題主要考查了三角公式在三角函數式的化簡中的應用，正弦函數性質的應用及導數的幾何意義的綜合應用，本題的考查內容比較新穎