Question

19．己知曲線C的極坐標方程是ρ²-4ρcosθ-2psinθ=0．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系xOy．在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過點P（1，2），傾斜角為$\frac{π}{6}$．
（1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線的參數(shù)方程；
（2）設(shè)直線與曲線C相交于A、B兩點，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲線C的直角坐標方程，由直線經(jīng)過點P（1，2），傾斜角為$\frac{π}{6}$，能求出直線的參數(shù)方程．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，得${t}^{2}-（\sqrt{3}-1）t-3=0$，由此能求出|PA|•|PB|的值．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標方程是ρ²-4ρcosθ-2psinθ=0，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²-4x-2y=0，即（x-2）²+（y-1）²=5．
∵直線經(jīng)過點P（1，2），傾斜角為$\frac{π}{6}$．
∴直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{6}}\\{y=2+tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，t為參數(shù)．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，
得（$\frac{\sqrt{3}}{2}t-1$）²+（1+$\frac{1}{2}t$）²=5，
整理，得${t}^{2}-（\sqrt{3}-1）t-3=0$，
∴|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|=|-3|=3．

點評 本題考查曲線的直角坐標方程和直線的參數(shù)方程的求法，考查兩線段乘積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程的互化公式的合理運用．