如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，已知∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=1．
（1）當SA=2時，求直線SA與平面SCD所成角的正弦值；
（2）若平面SCD與平面SAB所成角的余弦值為 $數(shù)學(xué)公式$ ，求SA的長．

解：以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系． $\text{[math]}$
各點坐標 A（0，0，0）S（0，0，2）D（1，0，0）C（2，2，0）
$\text{[math]}$ =（1，0，-2） $\text{[math]}$ =（2，2，-2），
設(shè)面SCD的一個法向量為 $\text{[math]}$ ，
則 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 取z=1．則 $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ =（0，0，2）
|cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．∴直線SA與平面SCD所成角的正弦值等于 $\text{[math]}$ ．
（2）設(shè)SA=a，則 S（0，0，a）， $\text{[math]}$ =（1，0，-a） $\text{[math]}$ =（2，2，-a），
設(shè)面SCD的一個法向量為 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 取z=1．則 $\text{[math]}$
又面SAB的一個法向量為 $\text{[math]}$ =（1，0，0），|cos＜ $\text{[math]}$ ＞|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得a= $\text{[math]}$
分析：（1）建立空間直角坐標系，求出SCD 的法向量 $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 夾角余弦得值去解決．
（2）求出平面SCD與平面SAB 的法向量 $\text{[math]}$ ，利用面SCD與平面SAB所成角與 $\text{[math]}$ 的夾角相等或互補的關(guān)系去解決．
點評：本題考用空間向量解決直線和平面位置關(guān)系、二面角大小，考查轉(zhuǎn)化的思想方法，空間想象能力，計算能力．屬于常規(guī)題目．

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