Question

圖1，平面四邊形關(guān)于直線對(duì)稱，，，．把沿折起（如圖2），使二面角的余弦值等于．

對(duì)于圖二，完成以下各小題：
（Ⅰ）求兩點(diǎn)間的距離；
（Ⅱ）證明：平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）。                                                                                                                
（Ⅱ）由已知得，推出， 
即，得到平面．
（Ⅲ）．

解析試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn) ，連接 ，
由，得：  
∴就是二面角的平面角，即           2分
在中，解得，又
，解得。        4分                                                                                                                   
（Ⅱ）由，
∴，∴， 
∴，  又，∴平面．     8分
（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面，平面
∴平面平面，平面平面，
作交于，則平面，
就是與平面所成的角。             11分
∴．       13分
方法二：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
∵， ，
∴  ，           11分
于是與平面所成角的正弦為．         13分
方法三：以所在直線分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則． 
設(shè)平面的法向量為，則
，，，，
取，則，    &