Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=2，cos2A=cos（B+C），．求角A及邊b，c的大�。�

Answer 1

【答案】分析：由三角形的內(nèi)角和定理得到A+B+C=π，即B+C=π-A，利用誘導(dǎo)公式可得cos（B+C）=-cosA，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)cos2A，代入已知等式cos2A=cos（B+C）得到關(guān)于cosA的方程，求出方程的解可得cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)，再由，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則得出bccosA的值，將cosA的值代入求出bc的值，利用余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，將a及bccosA的值代入得出b²+c²的值，將bc的值與b²+c²的值聯(lián)立組成方程組即可求出b與c的值．
解答：（本小題滿分12分）
解∵cos（B+C）=cos（π-A）=-cosA，且cos2A=2cos²A-1，
∴由cos2A=cos（B+C）得：2cos²A+cosA-1=0，…（2分）
∴或cosA=-1（不合題意舍去），
又A為三角形的內(nèi)角，
∴A=60°，…（4分）
由題意，，且cosA=，
∴bc=4，①…（7分）
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
將a=2，b•c•cosA=2代入得b²+c²=8，②…（10分）
由①②解得：b=c=2，
則A=60°，b=c=2．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及余弦定理，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．