Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞o)的左焦點(diǎn)為F（-

2

，0），離心率e=

2

2

，M、N是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：

OP

=

OM

+2

ON

，直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，問：是否存在定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，使得|PF₁|+|PF₂|為定值？，若存在，求出F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若M在第一象限，且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)M在x軸上的射影為A，連接NA 并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，證明：MN⊥MB．

Answer 1

（Ⅰ）由題設(shè)可知：

c= 2 c a = 2 2

，∴a=2，c=

2

…2分
∴b²=a²-c²=2…3分
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

4

+

y2

2

=1…4分
（Ⅱ）設(shè)P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

OP

=

OM

+2

ON

可得：

xP=x1+2x2 yP=y1+2y2

①…5分
由直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

可得：

y1y2

x1x2

=-

1

2

，即x₁x₂+2y₁y₂=0②…6分
由①②可得：x_P²+2y_P²=（x₁²+2y₁²）+（x₂²+2y₂²）
∵M(jìn)、N是橢圓上的點(diǎn)，∴x₁²+2y₁²=4，x₂²+2y₂²=4
∴x_P²+2y_P²=8，即

x 2P

8

+

y 2P

4

=1…..8分
由橢圓定義可知存在兩個(gè)定點(diǎn)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），使得動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離和為定值4

2

；….9分；
（Ⅲ）證明：設(shè)M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁＞0，y₁＞0，x₂＞0，y₂＞0，x₁≠x₂，A（x₁，0），N（-x₁，-y₁）…..10分
由題設(shè)可知l_AB斜率存在且滿足k_NA=k_NB，∴

y1

2x1

=

y2+y1

x2+x1

…．③
k_MN•k_MB+1=

y1

x1

•

y2-y1

x2-x1

+1④…12分
將③代入④可得：k_MN•k_MB+1=

2(y2+y1)

x2+x1

•

y2-y1

x2-x1

+1=

( x 22 +2 y 22 )-( x 21 +2 y 21 )

x 22 - x 21

⑤….13分
∵點(diǎn)M，B在橢圓

x2

4

+

y2

2

=1上，∴k_MN•k_MB+1=

( x 22 +2 y 22 )-( x 21 +2 y 21 )

x 22 - x 21

=0
∴k_MN•k_MB+1=0
∴k_MN•k_MB=-1
∴MN⊥MB…14分．