Question

10．如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}且\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC}）=0$，又知OA=4，OB=3，OP=4，OP⊥底面ABCD，設(shè)點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MC}$（λ＞0）．
（1）當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$時(shí)，求直線PA與平面BDM所成角的正弦值；
（2）問(wèn)線段PC上是否存在這樣的點(diǎn)M，使二面角M-AB-C的大小為$\frac{π}{4}$，若存在求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系O-ABP，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，平面BDM的法向量，利用空間數(shù)量積求解直線PA與平面BDM所成角的正弦值；
（2）求出平面ABC的一個(gè)法向量，設(shè)M（a，0，b），代入$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MC}$，求得$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{4λ}{1+λ}$，3，-$\frac{4}{1+λ}$），求出平面ABM的法向量，通過(guò)向量的數(shù)量積得到方程即可求出λ的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}且\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC}）=0$，所以底面ABCD為菱形．--------------------------------（1分）
（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系O-ABP，則A（4，0，0），B（0，3，0），C（-4，0，0），D（0，-3，0），P（0，0，4），所以$\overrightarrow{PA}$=（4，0，-4），$\overrightarrow{DB}$=（0，6，0），$\overrightarrow{AB}$=（-4，3，0）．
當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時(shí)，得M（-$\frac{4}{3}$，0，$\frac{8}{3}$），
所以$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{4}{3}$，3，-$\frac{8}{3}$），
設(shè)平面BDM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{6y=0}\\{\frac{4}{3}x+3y-\frac{8}{3}z=0}\end{array}\right.$，得y=0，
令x=2，則z=1，所以平面BDM的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（2，0，0），
所以cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，即直線PA與平面BDM所成角的正弦值$\frac{\sqrt{10}}{10}$．-----（6分）
（2）易知平面ABC的一個(gè)法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，0，1）．
設(shè)M（a，0，b），代入$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MC}$，得（a，0，b-4）=λ（-4-a，0，-b），
解得a=-$\frac{4λ}{1+λ}$，b=$\frac{4}{1+λ}$，即M（-$\frac{4λ}{1+λ}$，0，$\frac{4}{1+λ}$），
所以$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{4λ}{1+λ}$，3，-$\frac{4}{1+λ}$），
設(shè)平面ABM的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{-4x+3y=0}\\{\frac{4λ}{1+λ}x+3y-\frac{4}{1+λ}z=0}\end{array}\right.$，
消去y，得（2λ+1）x=z，
令x=1，則z=2λ+1，y=$\frac{4}{3}$，
所以平面ABM的一個(gè)法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，$\frac{4}{3}$，2λ+1），
所以$\frac{\sqrt{2}}{2}=|\frac{2λ+1}{\sqrt{1+\frac{16}{9}+（2λ+1）^{2}}}$|，解得$λ=\frac{1}{3}$或-$\frac{4}{3}$，因?yàn)棣耍?，所以$λ=\frac{1}{3}$．-------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．