Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)y=xlnx在x=e處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是$\frac{e^2}{4}$．

Answer 1

分析 求出導(dǎo)數(shù)，求得切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線(xiàn)的方程，分別令x=0，y=0，可得y軸、x軸的截距，由三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：y=xlnx的導(dǎo)數(shù)為y′=1+lnx，
即有函數(shù)在x=e處的切線(xiàn)斜率為1+lne=2，
切點(diǎn)為（e，e），可得在x=e處的切線(xiàn)方程為y-e=2（x-e），
令x=0，即有y=-e；y=0，可得x=$\frac{1}{2}$e．
則切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是S=$\frac{1}{2}$•e•$\frac{1}{2}$e=$\frac{{e}^{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{e^2}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及三角形的面積的計(jì)算，正確求導(dǎo)和運(yùn)用點(diǎn)斜式的直線(xiàn)方程是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．