Question

（本小題滿分14分）已知且，設函數(shù)= ax² +x-3alnx．
（I）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（II）當a=-1時，證明：≤2x-2．

Answer 1

（I）的單調遞增區(qū)間為（0，）、遞減區(qū)間為（，）；  （II）見解析。

試題分析：(I)先求出,然后再根據(jù)導數(shù)大于（小于）零，分別求出其單調增（減）區(qū)間.
（II）當a=-1時，,然后構造函數(shù)再利用導數(shù)求g(x)的最大值，證明其最大值不大于零即可.
（I）  …………………………1分
令解得…………………3分
列表如下：

x	（0，）		（，）
	+		-

…………………6分
故的單調遞增區(qū)間為（0，）、遞減區(qū)間為（，）…………………7分
（II），a=-1時，
設………………………………9分
則……………………10分
……………………12分
而 ……………………14分
點評：利用導數(shù)求單調區(qū)間時：如果含有參數(shù)，要注意分類討論，并且要注意函數(shù)的定義域.
證明不等式的問題可以通過構造函數(shù)，通過導數(shù)研究函數(shù)的最值證明不等式是常用的策略之一.