Question

如圖，已知拋物線y²=2px（p＞0），焦點為F，準(zhǔn)線為直線l，P為拋物線上的一點，過點P作l的垂線，垂足為點Q．當(dāng)P的橫坐標(biāo)為3時，△PQF為等邊三角形．
（1）求拋物線的方程；
（2）過點F的直線交拋物線于A，B兩點，交直線l于點M，交y軸于G．
①若，，求證：λ₁+λ₂為常數(shù)；
②求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）據(jù)題意知，P（3，），△PQF為等邊三角形，其邊長為，Q（，
所以，解得p=2
所以拋物線的方程y²=4x
（2）①設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-1）
所以；
M（-1，-3k），G（0，-k）
所以；
因為；
所以λ₁=λ₂=1，所以λ₁+λ₂=2
②由得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
△=16k²+16＞0
所以，x₁•x₂=1，
y₁•y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=-4；y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=
所以=
=k²+1≥1
所以的取值范圍為[1，+∞）
分析：（1）利用拋物線的定義求出△PQF的邊長為，寫出有關(guān)點的坐標(biāo)，利用兩點距離的公式得到|FQ|，列出方程求出p的值，得到拋物線的方程．
（2）①設(shè)出直線的方程，求出M，G的坐標(biāo)，將已知條件，用坐標(biāo)表示，求出λ₁+λ₂為常數(shù)．
②將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到A，B的坐標(biāo)和與積，；利用向量的數(shù)量積公式表示出，將韋達(dá)定理得到值代入，求出其范圍．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生綜合把握所學(xué)知識和基本的運算能力．