Question

已知函數(shù).

(Ⅰ) 若函數(shù)在處的切線方程為，求實數(shù)的值.

（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ；

（Ⅱ） 。

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 由得

               （2分）

 

函數(shù)在處的切線方程為，

所以 ，解得                   （5分）

（Ⅱ）當時，不等式恒成立，

所以，，而   （6分）

由（Ⅰ）知

令得或                         （8分）

（1）當即時，恒成立，所以在上遞增，成立                        （9分）

（2）當即時，由解得或

①當即時，在上遞增，在上遞減，

所以，解得；

②當即時，在上遞增，在上遞減，

在上遞增，

故，

解得；                              （12分）

（3）當即時，由解得或

①當即時，在上遞減，在上遞增，舍去；

②當即時，在上遞增，在上 遞減， 在上遞增，

所以，解得 （14分）

所以實數(shù)的取值范圍為 （15分）

考點：導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，不等式恒成立問題。

點評：中檔題，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，是導數(shù)應用的基本問題，主要依據(jù)“在給定區(qū)間，導函數(shù)值非負，函數(shù)為增函數(shù)；導函數(shù)值非正，函數(shù)為減函數(shù)”。確定函數(shù)的極值，遵循“求導數(shù)，求駐點，研究單調(diào)性，求極值”。不等式恒成立問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值，使問題得到解決。