Question

設函數f（x）=e^x（ax²+x+1），且a＞0，求函數f（x）的單調區(qū)間及其極大值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：求導數，分類討論，利用導數的正負，即可求函數f（x）的單調區(qū)間及其極大值．

解答： 解：∵f（x）=e^x（ax²+x+1），∴f′（x）=ae^x（x+

1

a

）（x+2）（3分）
當a=

1

2

時，f′（x）≥0，f（x）在R上單增，此時無極大值；    （5分）
當0＜a＜

1

2

時，f′（x）＞0，則x＞-2或x＜-

1

a

，f′（x）＜0，則-

1

a

＜x＜-2
∴f（x）在（-∞，-

1

a

）和（2，+∞）上單調遞增，在（-

1

a

，-2）上單調遞減．…（8分）
此時極大值為f（-

1

a

）=e-

1

a

     （9分）
當a＞

1

2

時，f′（x）＞0，則x＜-2或x＞-

1

a

，f′（x）＜0，則-2＜x＜-

1

a

∴f（x）在（-∞，-2）和（-

1

a

，+∞）上單調遞增，在（-2，-

1

a

）上單調遞減．…（11分）
此時極大值為f（-2）=e^-2（4a-1）（12分）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查利用導數研究函數的極值，屬于中檔題．