Question

已知實(shí)數(shù)a滿足a＞0且a≠1．命題P：函數(shù)y=log_a（x+1）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；命題Q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)．如果“P∨Q”為真且“P∧Q”為假，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：當(dāng)P為真命題時(shí)，根據(jù)對數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律得到0＜a＜1；根據(jù)一元二次方程根的判別式，得到當(dāng)Q為真命題時(shí)，0＜a＜

1

2

或a＞

5

2

．因?yàn)椤癙∨Q”為真且“P∧Q”為假，說明命題P、Q中一個(gè)為真，另一個(gè)為假，最后據(jù)此進(jìn)行分類討論，可得a的取值范圍．

解答：解：先看命題P
∵函數(shù)y=log_a（x+1）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，a＞0，a≠1，
∴命題P為真時(shí)?0＜a＜1…（2分）
再看命題Q
當(dāng)命題Q為真時(shí)，二次函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程根的判別式滿足
△=（2a-3）²-4＞0⇒0＜a＜

1

2

或a＞

5

2

…（4分）
由“P∨Q”為真且“P∧Q”為假，知P、Q有且只有一個(gè)正確．…（6分）
（1）當(dāng)P正確且Q不正確?

0＜a＜1 1 2 ≤a≤ 5 2

⇒a∈[

1

2

，1)…（9分）
（2）當(dāng)P不正確且Q正確?

a＞1 0＜a＜ 1 2 或a＞ 5 2

，⇒a∈(

5

2

，+∞)…（12分）
綜上所述，a取值范圍是[

1

2

，1)∪(

5

2

，+∞)…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)零點(diǎn)的問題為載體，考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．