Question

如圖，設(shè)鐵路AB長(zhǎng)為80，BC⊥AB，且BC=10，為將貨物從A運(yùn)往C，現(xiàn)在AB上距點(diǎn)B為x的點(diǎn)M處修一公路至C，已知單位距離的鐵路運(yùn)費(fèi)為2，公路運(yùn)費(fèi)為4．
（1）將總運(yùn)費(fèi)y表示為x的函數(shù)；
（2）如何選點(diǎn)M才使總運(yùn)費(fèi)最��？

Answer 1

解：（1）依題中，鐵路AB長(zhǎng)為80，BC⊥AB，且BC=10，
將貨物從A運(yùn)往C，現(xiàn)在AB上距點(diǎn)B為x的點(diǎn)M處修一公路至C，
且單位距離的鐵路運(yùn)費(fèi)為2，公路運(yùn)費(fèi)為4
∴鐵路AM上的運(yùn)費(fèi)為2（80-x），公路MC上的運(yùn)費(fèi)為4，
則由A到C的總運(yùn)費(fèi)為y=2（80-x）+4（0≤x≤80）…（6分）
（2）y′=-2+（0≤x≤80），
令y′=0，
解得x=，或x=-（舍）…（9分）
當(dāng)0≤x≤時(shí)，y′≤0；當(dāng)≤x≤80時(shí)，y′≥0
故當(dāng)x=時(shí)，y取得最小值．…（12分）
即當(dāng)在距離點(diǎn)B為時(shí)的點(diǎn)M處修筑公路至C時(shí)總運(yùn)費(fèi)最�。�…（13分）
分析：（1）由已知中鐵路AB長(zhǎng)為80，BC⊥AB，且BC=10，為將貨物從A運(yùn)往C，現(xiàn)在AB上距點(diǎn)B為x的點(diǎn)M處修一公路至C，已知單位距離的鐵路運(yùn)費(fèi)為2，公路運(yùn)費(fèi)為4，我們可計(jì)算出公路上的運(yùn)費(fèi)和鐵路上的運(yùn)費(fèi)，進(jìn)而得到由A到C的總運(yùn)費(fèi)；
（2）由（1）中所得的總運(yùn)費(fèi)y表示為x的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法，我們可以分析出函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)的最小值點(diǎn)，得到答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)在最大值最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，函數(shù)最值的應(yīng)用，其中根據(jù)已知條件求出函數(shù)的解析式，并確定函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵．