f(x)的定義域?yàn)镽,若存在常數(shù)M>0,使|f(x)|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立,則稱(chēng)f(x)為F函數(shù).現(xiàn)給出下列函數(shù):
①f(x)=2x;
②f(x)=x2+1;
f(x)=
2
(sinx+cosx)
;
f(x)=
x
x2-x+1
;
⑤f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),且對(duì)一切x1,x2均有|f(x1)-f(x2)|≤2|x1-x2|.
其中是F函數(shù)的函數(shù)有
①④⑤
①④⑤
分析:用F函數(shù)的定義加以驗(yàn)證,對(duì)于①④⑤均可以找到常數(shù)M>0,使|f(x)|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立,說(shuō)明它們是F函數(shù).而對(duì)于②③,當(dāng)x→0時(shí),|
f(x)
x
|→∞,所以不存在常數(shù)M>0,使|f(x)|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立,故它們不符合題意.
解答:解:對(duì)于①,f(x)=2x,易知存在M=2>0,使|f(x)|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立,符合題意;
對(duì)于④,因?yàn)閨f(x)|=
|x|
x2-x+1
=
|x|
(x-
1
2
)
2
+
3
4
4
3
|x|,所以存在常數(shù)M=
4
3
>0,使|f(x)|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立,④是F函數(shù);
對(duì)于⑤,f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),故|f(x)|是偶函數(shù),因而由|f(x1)-f(x2)|≤2|x1-x2|得到,
|f(x)|≤2|x|成立,存在M≥2>0,使|f(x)|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立,符合題意.
而對(duì)②、③用F函數(shù)的定義不難發(fā)現(xiàn):因?yàn)閤→0時(shí),|
f(x)
x
|→∞,所以不存在常數(shù)M>0,使|f(x)|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立,它們是不符合題意的
故答案為:①④⑤
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的定義域和值域的問(wèn)題,屬于中檔題.題中“F函數(shù)”的實(shí)質(zhì)是函數(shù)f(x)與x的比值對(duì)應(yīng)的函數(shù)是有界的,抓住這一點(diǎn)我們不難解出.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y∈R,有
f(x+y)=f(x)f(y)
(Ⅰ)求f(0),判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=f(0),且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)

①求{an}通項(xiàng)公式.
②當(dāng)a>1時(shí),不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
12
35
(loga+1x-logax+1)
對(duì)不小于2的正整數(shù)恒成立,求x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y);當(dāng)x<0時(shí),f(x)<0,且f(1)=1.
(1)判斷并證明f(x)在(-∞,+∞)上的單調(diào)性;
(2)若數(shù)列{an}滿(mǎn)足:0<a1<1,且2-an+1=f(2-an),證明:對(duì)任意的n∈N*,0<an<1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),又當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0且f(2)=-1.試問(wèn)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-6,6]上是否存在最大值與最小值?若存在,求出最大值、最小值;如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知y=f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,恒有2f(x)+f(-x)+2x=0成立,
(1)試求f(x)的解析式; 
(2)試討論f(x)在R上的單調(diào)性,并用定義予以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2008•南京模擬)已知函數(shù)y=f (x)的定義域?yàn)镽,f (27)=3,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1,x2,必有f (x1•x2)=f (x1)•f (x2)  成立,寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)函數(shù)為
y=
3x
y=
3x

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