設函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c和g（x）=4x2-7x+2，滿足下列條件：①函數(shù)y=f（x）在x=-1處有極值；②曲線y=f（x）與y=g（x）在點（2，4）處有公共切線．
（1）求a，b，c；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．
考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用
分析：（1）利用極值的定義，可得b=2a-3，利用曲線y=f（x）與y=g（x）在點（2，4）處有公共切線，可得4=8+4ax+2b+c；12+4a+b=9，由3個式子求出a，b，c；
（2）利用導數(shù)的正負，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．
解答： 解：（1）函數(shù)y=f（x）在x=-1處有極值，求導f′（x）=3x2+2ax+b，把-1代入，b=2a-3；
根據(jù)曲線y=f（x）與y=g（x）在點（2，4）處有公共切線，即函數(shù)f（x）過（2，4），4=8+4ax+2b+c；
∵g′（2）=8×2-7=9
∴12+4a+b=9；
由3個式子求出a=0，b=-3，c=2；
（2）f′（x）=3x2-3
由f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞1；由f′（x）＜0，可得-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．
點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M∈{1，-2，3}，N∈{-4，5，6，-7}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，求這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程為
x=
1
2
+tcosα
y=tsinα
（t為參數(shù)，0＜α＜π），曲線C的極坐標方程為ρ•sin2θ=2cosθ．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與曲線C相交于A、B兩點，當α變化時，求|AB|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos2x+cosx，x∈[-
π
6
，
5π
6
]，求函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，橢圓短軸的端點和焦點組成的四邊形為正方形，且
2a2
c
=4．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l過點P（0，2），且與橢圓相交于A、B兩點，當△AOB面積取得最大值時，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為8，離心率為
1
2
，
（1）求橢圓的標準方程；
（2）在橢圓上任取一點P，求P到直線l：x-2y-12=0的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）當PD=
2
AB=2，E是PB的中點，求三棱錐A-PED的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d （a、b、c∈R），且函數(shù)f（x）的圖象關于原點對稱，其圖象x=3處的切線方程為8x-y-18=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在區(qū)間[a，b]，使得函數(shù)f（x）的定義域和值域為[a，b]？若存在，求出這樣的一個區(qū)間[a，b]；若不存在，則說明理由；
（3）若數(shù)列{an}滿足：a1≥1，an+1≥f′（an+1），試比較
1
1+a1
+
1
1+a2
+
1
1+a3
+…+
1
1+an
與1的大小關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知（1+2i）
.
z
=4+3i，求z及
z
.
z
．

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