Question

已知向量

a

=(

1

2

，

3

2

)，向量

b

=(-1，0)，向量

c

滿足

a

+

b

+

c

=

0

．
（1）求證：(

a

-

b

)⊥

c

；（2）若

a

-k

b

與2

b

+

c

共線，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（1）要證(

a

-

b

)⊥

c

，只要證明(

a

-

b

)•

c

=0即可
（2）由

a

+

b

+

c

=

0

，可得

c

=-(

a

+

b

)則2

b

+

c

=-

a

+

b

．由

a

-k

b

與2

b

+

c

共線，可得存在實(shí)數(shù)λ使得

a

-k

b

=λ(-

a

+

b

)，由向量基本定理可求k

解答：（1）證明：∵(

a

-

b

)•

c

=(

a

-

b

)•(-

a

-

b

)=

b

2-

a

2=1-1=0
∴(

a

-

b

)•

c

=0（6分）
（2）解：（2）由條件得

a

+

b

+

c

=

0

，（8分）
∴

c

=-

a

-

b

∴2

b

+

c

=-

a

+

b

．（10分）
∵

a

-k

b

與2

b

+

c

共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ使得

a

-k

b

=λ(2

b

+

c

)=λ(-

a

+

b

)=-λ

a

+λ

b

∴(1+λ)

a

=(k+λ)

b

∵

1

2

•0-

3

2

•(-1)≠0，
∴

a

，

b

不共線，（12分）
∴由向量共線的基本定理可得

1=-λ -k=λ

∴k=1（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了向量數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，向量基本定理的應(yīng)用，屬于知識(shí)的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用．