Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M是“垂直對點集”．給出下列四個集合：
①M={}；
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③M={（x，y）|y=log₂x}；
④M={（x，y）|y=e^x-2}．
其中是“垂直對點集”的序號是（ ）
A．①②
B．②③
C．①④
D．②④

Answer 1

【答案】分析：對于①利用漸近線互相垂直，判斷其正誤即可．對于②、③、④通過函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域的范圍，畫出函數(shù)的圖象，利用“垂直對點集”的定義，即可判斷正誤；
解答：解：對于①y=是以x，y軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角是90°，所以在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，滿足好集合的定義；在另一支上對任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，所以不滿足“垂直對點集”的定義，不是“垂直對點集”．
對于②M={（x，y）|y=sinx+1}，對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如（0，1）、（π，0），滿足“垂直對點集”的定義，所以M是“垂直對點集”；正確．
對于③M={（x，y）|y=log₂x}，取點（1，0），曲線上不存在另外的點，使得兩點與原點的連線互相垂直，所以不是“垂直對點集”．
對于④M={（x，y）|y=e^x-2}，如下圖紅線的直角始終存在，對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如取M（0，-1），則N（ln2，0），滿足“垂直對點集”的定義，所以是“垂直對點集”；正確．

所以②④正確．
故選D．
點評：本題考查“垂直對點集”的定義，利用對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，是本題解答的關(guān)鍵，函數(shù)的基本性質(zhì)的考查，注意存在與任意的區(qū)別．