Question

（2013•虹口區(qū)二模）若-

π

2

≤α≤

π

2

，-

π

2

≤β≤

π

2

，m∈R，如果有α³+sinα+m=0，-β³-sinβ+m=0，則cos（α+β）值為（　�。�

• A．-1
• B．0
• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：考查函數(shù)f（x）=x³+sinx為奇函數(shù)，利用導數(shù)求得f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數(shù)．由題意可得f（α）=-m，f（β）=m，可得f（α）=f（-β），故有α=-β，即α+β=0，從而求得cos（α+β）的值．

解答：解：考查函數(shù)f（x）=x³+sinx，由于f（-x）=（-x）³+sin（-x）=-（x³+sinx）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
由于函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x）=2x²+cosx，故當-

π

2

≤x≤

π

2

 時，f′（x）＞0，
故f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數(shù)．
∵-

π

2

≤α≤

π

2

，-

π

2

≤β≤

π

2

，m∈R，α³+sinα+m=0，-β³-sinβ+m=0，
∴f（α）=-m，f（β）=m，∴f（α）=-f（β）=f（-β）
∴α=-β，∴α+β=0，∴cos（α+β）=cos0=1，
故選D．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求函數(shù)的值，屬于中檔題．