Question

已知函數(shù)的值域?yàn)锳，定義在A上的函數(shù)f（x）=x^-2-x²（x∈A）．
（1）求集合A，并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；
（3）解不等式f（3x+1）＜f（5x+1）．

Answer 1

解：（1）∵x²＞0，
∴0＜＜1，-1＜＜0，
即A={x|-1＜x＜0}．
∵函數(shù)f（x）=x^-2-x²（x∈A），而A={x|-1＜x＜0}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f（x）是非奇非偶函數(shù)；
（2）證明：設(shè)-1＜x₁＜x₂＜0，
f（x₁）-f（x₂）=--（-）=+（-）
=（-）（1+）．
∵-1＜x₁＜x₂＜0，
∴＞，＞0，
∴（-）（1+）＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（-1，0）上是增函數(shù)．
（3）∵f（3x+1）＜f（5x+1），
∴解得：x∈∅．
分析：（1）由x²＞0，0＜＜1，可求得函數(shù)的值域A，利用奇偶函數(shù)的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜0，作差后化積f（x₁）-f（x₂）=（-）（1+），判斷積的符號(hào)即可；
（3）利用（2）中所證的單調(diào)性與其定義域?yàn)锳可列關(guān)于x的不等式組，解之即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，著重考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義及其綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于難題．