Question

用大小一樣的鋼珠可以排成正三角形、正方形與正五邊形數(shù)組，其排列的規(guī)律如下圖所示：
已知m個(gè)鋼珠恰好可以排成每邊n個(gè)鋼珠的正三角形數(shù)組與正方形數(shù)組各一個(gè)；且知若用這m個(gè)鋼珠去排成每邊n個(gè)鋼珠的正五邊形數(shù)組時(shí)，就會(huì)多出9個(gè)鋼珠，則m=________．

Answer 1

126
分析：根據(jù)所給的圖形觀察圖形的特點(diǎn)，邊上每增加一個(gè)珠子時(shí)，組成正多邊形的珠子數(shù)的變化規(guī)律，得到三個(gè)等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和寫出總數(shù)，根據(jù)所給的m個(gè)珠子排成的圖形，寫出方程組，解方程組即可．
解答：由題意知當(dāng)用珠子排成正三角形數(shù)組時(shí)，當(dāng)邊上只有一個(gè)珠子時(shí)，共有一個(gè)珠子，
當(dāng)邊上有兩個(gè)珠子時(shí)，共有3個(gè)珠子，
當(dāng)邊上有三個(gè)珠子時(shí)，有6個(gè)珠子，
以此類推當(dāng)邊上有n個(gè)珠子時(shí)，共有1+2+3+4+…+n=，
用珠子排成正四邊形的數(shù)組時(shí)，
當(dāng)邊上有1個(gè)珠子，共有一個(gè)，
…
當(dāng)一邊上有n個(gè)珠子時(shí)，共有1+3+5+7+…+2n-1=n²，
當(dāng)用珠子排成正五邊形時(shí)，當(dāng)一條邊上有n個(gè)珠子時(shí)，共有，
∵m個(gè)鋼珠恰好可以排成每邊n個(gè)鋼珠的正三角形數(shù)組與正方形數(shù)組各一個(gè)；
且知若用這m個(gè)鋼珠去排成每邊n個(gè)鋼珠的正五邊形數(shù)組時(shí)，就會(huì)多出9個(gè)鋼珠，
∴，①
②
把②代入①得到n=9，
代入①得到m=126，
故答案為：126
點(diǎn)評(píng)：考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查觀察圖形，考查方程思想的應(yīng)用，是一個(gè)綜合題目，這種題目具有創(chuàng)新性，是一個(gè)好題又是一個(gè)易錯(cuò)題．